三十米高杆灯的风致振动的测量研究

 本文通过环境激励的响应分析, 研究了30米高杆灯的动特性。 然后, 在发生风致 振动的实际条件下, 测量了振动频率和振型以及当时的风速, 确认振动的原因是一种流固耦合 作用形成的风的尾流脱落激励引起结构共振。 文中讨论了环境激励响应测量的理论依据, 测量 方法、数据采集和分析技术, 并给出了避免风致振动的理论依据及有关设计公式。 关键词 高柔结构, 风载, 环境激励, 模态分析, 随机响应 一、引 言 环境激励常常引起高柔结构的振动, 从而引起许多工程人员的关注, 这方面的研究工作 近年来多有发表[ 1 -5] 。本文根据线性结构的随机振动理论, 讨论了高柔结构现场实测的有 关问题, 如实验方法 、数据采集 、模态分析等。文中详细地论证了利用地面环境激励的响应 谱分析进行结构振型分析的理论依据, 并给出了测量低频模态小阻尼情况时采样长度的确 定方法, 以保证阻尼分析精度 。 论文通过现场实测分析了北京某地的 30 米高杆灯风振的原因, 并给出了高杆灯设计的 有关公式 。 二 、地面随机运动所引起的结构振动响应分析 高柔结构的振动以水平振动为主。此处仅就水平振动进行分析 。 本文受北京市市政建筑设计所委托研究, 现场实测与该所合作进行 本文收稿日期:1997 年 7 月

图 1 受有地面运动激 励的高柔结构 设图 1 所示结构受到水平地面运动 u( t )的激励, 则结构的运动 微分方程为 

[ M] {¨x}+[ C] {﹒δ}+[ K] {δ}={0} ( 1) 

此处{δ}为结构质量点相对于运动地面的相对位移向量,{x}为绝对 位移向量 。因此有

x i = δi +u, ¨x i =¨δi +¨u ( 2) 代入( 1) 式可得

[ M] {¨δ}+[ C] {﹒δ}+[ K] {δ}=-[ M] {1}¨u ( 3) 上式右端的 -[ M] {1}¨u 可以考虑为由于地面运动而作用于结构上 的等效力向量。 根据随机振动谱分析理论, 相对位移向量{δ}的功率谱密度矩 阵为 

[ Sδδ] =[ H ＊] [ S f f] [ H] T ( 4) 式中[ H] 为结构的频响函数矩阵,[ H ＊] 是其共轭阵 。 

[ H] =[ Υ] [ Y r] [ Υ] T [ Υ] =[ {φ1}

{φ2}…{φn}] [ Y r] =diag[ Y 1 

Y 2 …Y n] Y i =[ k r -mrω2 +j ωcr] -1 k r, mr, cr 均为模态参数, 并有

Ψr = kr / mr, ζr = cr 2 mrk r {φr}是第 r 阶模态振型 {φr}=[ φ1 r φ2 r … φnr] T 利用环境激励响应分析求取结构动特性时, 其主要内容即为求取模态振型{φr}, 模态 频率 Ψr 以及模态阻尼比ζr 。 [ Sf f] 为激励力的功率谱密度( PSD) 矩阵, 应为 [ S f f] =[ M] [ I] [ M] TS¨u¨u ( 5) 其中 S¨u¨u可以确定如下 : R¨u¨u ( τ) =E[ ¨u ( t) ( ¨u( t -τ) )] = ω4E[ u( t) u( t -τ)] S¨u¨u = 12π∫∞-∞R¨u¨u ( τ) e-jωτd τ= ω4 S uu ( 6) 式中 R¨u¨u和E[ ¨u ( t) ¨u ( t -τ)] 表示自相关函数和数学期望 。由式( 4) 、( 5) 、( 6) 可得 [ Sδδ] =[ H] ＊[ M] [ I] [ M] T[ H] Tω4 S uu ( 7) 但是, 我们在测量中能够直接测量到的往往是绝对位移{X}, 而不是相对位移{δ}。因 此, 我们直接关心的是绝对位移 PSD 矩阵[ S x x] 。不难证明 。 110 工 程 力 学

[ S xx ] ={X ( ω)}{X ( ω)}T =[ Sδδ] +[ Sδu] +[ Suδ] +S uu[ I] ( 8) 若 u( t)是随机运动, 当 ω=Ψr( Ψr 为结构的第 r 阶固有频率) , 则第 r 阶模态对{δ}的贡献 为主, 并可指望 

[ Sδu] +[ S uδ] ≈0 于是式( 8) 变为 

[ S x x] =[ Sδδ] +S uu[ I] =[ H ＊] [ M] [ I] [ M] T[ H] Tω4 S uu +Suu[ I] ( 9) 由式( 9) 可得

Sx ixj = ∑p ∑k ∑j H ＊ik mkpmpsHjsω4 Suu Sx jxj = ∑p ∑k ∑j H ＊jk mkpmpsHjsω4 Suu +S uu 若[ M] 是对角阵, 则以上二式化为

 S xix j = ∑p ( H ＊ipm2pHjp ) ω4 Suu S xjx j = ∑p ( H ＊jpm2pHjp ) ω4 Suu +S uu ( 10) 当 ω≈Ψr 时, Hij ≈Yrφirφjr, 于是有 S xi xj ∑p Y ＊r φirφprm2pY rφjrφpr Ψ4rSuu = Y r 2φirφjr ∑p ( φprm2pφpr) ΨrS uu ( 11a) S xjx j = Y r 2 φjrφjr ∑p ( φprm2pφpr) ΨrS uu +S uu ( 11b) S xix j S xjx j = φirφjr Y r 2 Ψ4r ∑p φ2prm2p φjrφjr Y r 2 Ψ4r ∑p φ2prm2p +1 ( 12) 上式中, 令 αjr = φjr Y r 2 Ψ4r ∑p φ2prm2p 则式( 12) 变为 S x ixj S x jxj = φir φjr +( 1/ αjr) ( 13) 当 ω=Ψr 时, 有 Yr 2 1/ ( 2krζr) 2 αjr = φjr · 1 4k 2rζ2r k2r m2r ∑p φ2prm2p = φjr · 1 4 m2rζ2r ∑p φ2prm2p ( 14) 式中 mr 为模态质量, 对于集中质量系统, mr =∑p φ2prmp 因此, 一般情况下应有 三十米高杆灯的风致振动的测量研究 111

∑p φ2prm2p >m2r 于是式( 14) 可变化如下: αjr >φjr · 14ζ2r, 1/ αjr <4 ζ2r φjr ( 15) 对于小阻尼系统, 例如对于我们所测量的钢制的灯杆, 其 1 阶阻尼比和 2 阶阻尼比分别为 0 .007 和 0 .002, 通常取 φjr =1, 即有 1/ αjr <<φjr, 于是式( 13) 化为 S x ixj S x jxj = φir φjr ( 16) 上式表明, 当 ω=Ψr 时,[ S xx ] 的任一列均为第 r 阶模态振型{φr}。 三 、地脉动响应的测量和分析 为了研究图 2 所示高杆灯动态特性和风致结构振动的起因, 首先于现场测量了结构在 地面环境运动条件下的响应。 图 2 高杆灯结构 1 .确定采样时间长度 采样长度 T, 分析频带( BW) 以及频率分辨率■f 之间 有以下关系 T = n ( B W) ■f = 1T ( 17) 此处 n 为分析仪屏幕的谱线数 。频率分辨率不但关系到 固有频率的识别精度, 而且影响模态阻尼的识别精度。 ■f 的选择应根据所测最低固有模态的半功率带宽来确 定。因此, 在正式测量之前应作预测试, 以粗略地寻找到固 有频率及阻尼值 。 一般说来, 为使 ζr 的识别具有足够的精确度, ■f 应 足够地小, 使其满足 ■Br =5 ■f ( 18) 式中 ■Br 为第r 阶模态的半功率带宽。对于小阻尼系统, 若固有频率为 fr, 则 ζr =■Br/ ( 2 fr), 因此实际采样长度 和细化( ZOOM) 频带应为 T ≥5/ ( 2 frζr) ( B W) ZOOM = nT = 25 f rζrn ( 19) 以上确定的 T 为一个处理段的长度 。考虑到随机信号谱分析本身的误差, 应进行多段平 均。从统计学的观点考虑, 应保证总采样长度 Tt =mT 满足一定的统计自由度k 。 k 的定 义如下: 112 工 程 力 学

k =2B Tt ( 20) 式中 B 为分析频带宽度 。通常 k 的最小值为 10 。小于 10 将有可能产生不可容忍的误差。 采用 k =100 可得到较好的精度。由( 19) 式可计算处理段数 m 及总长度 Tt 。 

2 .信号记录 为获得进行模态分析的信息, 只需测量[ S x x] 中的一列 。考虑到要分辨模态向量的相 位, 在结构上应指定一个固定参考点 。响应可分组记录。注意每组记录中均应包括参考点 的信号在内。 

3 .运用 PSD 识别模态参数 

若以 j 点为固定参考点, 运用记录信号处理后可得自功率谱密度 S x jxj及互功率谱密度 S xixj 。然后, 模态参数可识别如下: 

模态频率:由 S xjx j识别。最大响应点所对应的频率即为模态频率 fr, r =1, 2, …, n 。 阻尼比:由式( 11b) 可见, 在自功率谱密度曲线上, 半峰点之间的带宽■B r 对应于幅频 曲线的半功率点带宽 。因此阻尼比可由下式求得 

ζr = ■Br 2 fr ( 21) 

模态振型:运用 PSD 可确定模态振型元素 

φir =Sx ixj/ S xj xj , i =1, 2, …, n ( 22) 

上式可同时给出 φir的幅值和相位。 30 米高杆灯的环境激励响应的现场实测是在车流繁忙的白天进行的 。在灯杆上均匀 分布了 15 个测点, 灯盘上沿周向均匀分布了 8 个测点, 共 23 个记录信号, 所用传感器为伺 服式加速度计。 初测找到一阶及二阶的弯曲振动固有频率大约分别为在 0 .3Hz 及 2 .8Hz 左右, 阻尼分 别约为 0 .007 及 0 .001 。按照式( 17) , ( 18) 及( 19) 可以确定对第 1 阶模态来说, T =19 .84 分钟( B W) ZOOM =0 .2H, 对第 2 阶模态来说, 分别为 T =8 .3w 分, ( BW ) ZOOM =0 .5Hz 。此 处所用的分析仪为 250 线。处理时采用10 次平均, 完全满足式( 19) 对 k 的要求 。最后确定 的第一阶及第二阶固有频率分别为 0 .32Hz 及 2 .84Hz, 对应的阻尼比分别为 0 .72 %和 0 . 095 %。其对应的振型见图 3 。四 、风致振动的测量及分析 因为发现 30 米高杆灯的显着振动发生在春 、秋天风季, 因此现场测量是选在秋天的一 个有风日进行的 。风致振动响应测量方法和数据处理技术与地脉动的响应测量和处理相 同。数据分析结果表明振动响应的主要频率成份属于第二阶弯曲模态, 其频率为 2 .844Hz, 并在垂直于风向的方位振动。 与此同时, 测量了当地的风速, 发现在风速为 6 .8m/ s ～ 7 .0m/ s 时, 高杆灯的振幅达到 最大值。 不难发现, 这一风致振动的原因是风流尾流脱落[ 6] 引起的结构共振 。 Roshko[ 7] 在 1961 年所进行的试验表明, 尾流脱落频率 fs 与风速 V , 结构的特征尺寸( ty pical dimension) D, 以 及斯特罗哈( Strouhal) 数 S 之间有下式关系S = fsD/ V ( 23) 图 4 斯特罗哈数和雷诺数的关系曲线 此处 D 为高杆的直径 。实验研究表明, 在雷诺( Rey nolds) 数为 4 ×102 到 3 ×105 之间, S 值 基本不变( 见图 4) 。对于柱形结构, 在此范围内, S =0 .2 。雷诺数 R 由下式给出 114 工 程 力 学

R = VDρμ ( 24) 

对于空气来说, 质量密度 ρ=1 .22kg/m2, 绝对粘性 μ=1 .82 ×10-5kg/ ( m/ s) , 柱体直径 D =0 .53m, 风速 V =6 .8 ～ 7 .0m/ s, 式( 23) 给出 R =2 .42 ×105 。代入式( 22) 可算出尾流脱落 频率为 fs =S VD = 0 .2 0 .53 ×( 6 .8 ～ 7 .0) =2 .57 ～ 2 .64Hz 这一频率和结构的二阶弯振模态频率 fr =2 .84Hz 很接近。二者的差别可能在于风速测量 的误差 。另一可能是, 从图 4 可以看出, 在 R =2 .42 ×105 处, 也可以认为 S ≈0 .22 。于是 f 2 ≈2 .82 ～ 2 .90Hz 。这一结果就更接近于 fr =2 .84Hz 。 Vickery[ 8] 的研究曾指出所谓尾流脱落锁定( lockon) 现象 。由于结构共振时, 可使空气 动力与结构运动在结构全体高度上有更好的相关性, 从而使尾流脱落频率在较大的风速范 围内保持与结构的共振频率一致。即共振现象的出现使与共振频率略有差异的尾流脱落频 率 fs 被锁定为共振频率 fr, 从而使共振现象得以稳定和加强 。 五、结 论 本文从理论上和实践上阐明了利用结构对环境激励响应的测量和分析, 确定高柔结构 的动特性时的若干重要问题, 如采样长度的确定, 记录方法与测点选择, 响应信号的分析和 模态参数的识别等。并分别在车流运行所造成的地面运动激励和风致振动的情况下, 测量 了北京某 30 米高杆灯的振动响应 。分析结果表明, 该高杆灯在春秋天风季当风速达 6 .8m/ s( 6 级风) 时发生明显振动的原因是一种流固耦合振动现象 。此时风流的尾流脱落频率恰 好等于结构的二阶弯振频率, 从而引起结构共振。共振时引起灯影晃动给行人一种恐慌, 怀 疑该结构的安全性或者以为出现了某种神秘现象 。根据实测振动数据亦可对结构的使用安 全性作出评估。研究的结果可供类似结构的设计和安全评估作参考 。